http://www.ipai.net.ua/shevchenko-publishing

Задача 1. Козак Вус подарував вам набiр з n цифр (тобто чисел вiд 0 до 9 включно). I хоче дiзнатися у вас: яку максимальну кiлькiсть чисел з них можна скласти так, щоб кожне з них дiлилося на 3 та кожна цифра з набору була використана не бiльше 1 разу. Щоб скласти число, вам потрiбно вибрати будь-які цифри з набору, вибрати їхнiй порядок та скласти число з цих цифр. Звернiть увагу, що ви не зобов’язанi використати всi цифри. Ви ж не можете вiдмовити Вусу? :)

Маленька пiдказка вiд Математичної Сови:

Остача (залишок) вiд дiлення x на число 3 дорiвнює остачi вiд дiлення суми цифр числа x на число 3.

Число a є кратним числу b (тобто a дiлиться на b) лише, якщо остача вiд дiлення числа a на число b дорiвнює 0.

Технічні умови Програма Newnumbers читає з пристрою стандартного введення у першому рядку мiстить одне цiле число n (1 ⩽ n⩽5 · 105) — кiлькiсть цифр. У другому рядку записано n цiлих чисел, кожне з яких має значення вiд 0 до 9 включно. Програма виводить на пристрій стандартного виведення одне ціле число — максимальну кількість чисел кратних 3, що можна скласти з цього набору.

Приклади

Введення	Виведення
1 0	1
14 8 8 4 8 1 1 0 0 2 1 9 3 4 1	8

Зауваження до прикладів

У першому прикладі ми можемо скласти лише одне число 0.

У другому прикладі з цього набору ми можемо скласти максимум 8 чисел. Один iз можливих способів — це скласти такі числа: 0, 0, 48, 9, 3, 21, 81, 84. Невикористаними у нас залишаться цифри 1, 1.

Задача 2. Дано набiр з n цифр вiд 0 до 9 включно. Потрібно дiзнатися, яку максимальну кiлькiсть чисел з них можна скласти так, щоб кожне з них дiлилося на 3 та кожна цифра з набору була використана не бiльше 1 разу. Щоб скласти число, вам потрiбно вибрати будь-які цифри з набору, вибрати їх порядок та скласти число з цих цифр. Звернiть увагу, що ви не зобов’язані використати всi цифри.

Математична підказка:

· Остача (залишок) вiд дiлення x на число 3 дорiвнює остачi вiд дiлення суми цифр числа x на число 3.

· Число a є кратним числу b (тобто a дiлиться на b) лише, якщо остача вiд дiлення числа a на число b дорiвнює 0.

Технічні умови. Програма читає з пристрою стандартного введення у першому рядку одне цiле число n (1 ⩽ n⩽5 · 10⁵) — кiлькiсть цифр. У другому рядку записано n цiлих чисел, кожне з яких має значення вiд 0 до 9 включно. Програма виводить на пристрій стандартного виведення одне цiле число — максимальну кiлькiсть чисел кратних 3, що можна скласти з цього набору.

Приклади

Введення	Виведення
1 0	1
14 8 8 4 8 1 1 0 0 2 1 9 3 4 1	8

Зауваження до прикладів

У першому прикладi ми можемо скласти лише одне число 0.

У другому прикладi з цього набору ми можемо скласти максимум 8 чисел. Один iз можливих способiв — це скласти наступнi числа: 0, 0, 48, 9, 3, 21, 81, 84. Невикористаними у нас залишаться цифри 1, 1.

Математична модель до завдання:

Максимальна кількість чисел обчислюється за формулою

n =p(0=mod3)+min(k(1=mod3); m(2=mod3))+(1/3)*(max(k(1=mod3); m(2=mod3) -min(k(1=mod3); m(2=mod3))

де p(0=mod3) - це кількість цифр, що кратні 3.;

k(1=mod3) -це кількість цифр, що мають вигляд 3х+1;

m(2=mod3)) - це кількість цифр, що мають вигляд 3х+2;

Кодування алгоритму на СІ++

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

long long kol, tsifra, ost;

cin >> kol;

long long n = 0, L = 0, m = 0;

for (long long i = 0; i < kol; i++){

cin >> tsifra;

ost = tsifra % 3;

if (ost == 0)

n = n + 1;

else if (ost == 1)

L = L + 1;

else

m = m + 1;

}

long long rez = n + min(L, m) + (max(L, m) - min(L,m))/3;

cout << rez;

}

Кодування алгоритму на мові Рython

var k,l,o,m,n,i,min,max,rez:longint;

begin

readln(n);

k:=0; l:=0; m:=0;

for i:=1 to n do

begin

read(o);

o:=(o mod 3);

case o of

0:k:=k+1;

1:l:=l+1;

2:m:=m+1;

end;

if l>m then begin max:=l; min:=m; end

else begin max:=m; min:=l; end;

rez:=k+min+((max-min) div 3);

write(rez);

endA.

Кодування алгоритму на мові Pascal

var k,l,o,m,n,i,min,max,rez:longint;

begin

readln(n);

k:=0; l:=0; m:=0;

for i:=1 to n do

begin

read(o);

o:=(o mod 3);

case o of

0:k:=k+1;

1:l:=l+1;

2:m:=m+1;

end;

if l>m then begin max:=l; min:=m; end

else begin max:=m; min:=l; end;

rez:=k+min+((max-min) div 3);

write(rez);

end.

Кодування на мові Pascal генератора перевірочних тестів(текстових файлів з даними) до алгоритму:

var f:text;

n,p,i,k,l,m,min,max,a,o,rez,c:longint;

pp:boolean;

begin

read(n);

read(p);

assign(f,'figures.test.20');

rewrite(f);

writeln(f,n);

for i:=1 to n do

begin

pp:=true;

case p of

1:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if c=0 then pp:=false; end; end;

2:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if c=1 then pp:=false; end; end;

3:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if c=2 then pp:=false; end; end;

4:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if ((c=0) or (c=1)) then pp:=false; end; end;

5:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if ((c=0) or (c=2)) then pp:=false; end; end;

6:begin while pp do begin a:=random(10); c:=(a mod 3); if ((c=2) or (c=1)) then pp:=false; end; end;

7:a:=random(10);

end;

write(f,a,' ');

o:=(a mod 3);

case o of

0:k:=k+1;

1:l:=l+1;

2:m:=m+1;

end;

if l>m then begin max:=l; min:=m; end else begin max:=m; min:=l; end;

end;

rez:=k+min+((max-min) div 3);

writeln(f,'');

write(f,rez);

close(f);

write(rez);

end.

Тести для перевірки алгоритму:

Тест 1.

Ввід 4

5 5 8 8

Вивід 1

Тест 2.

Ввід 8

5 5 7 8 8 5 8 4

Вивід 3

Тест 3.

Ввід 16

5 5 7 8 6 8 5 8 4 6 6 3 4 2 8 0

Вивід 9

Тест 4.

Ввід 32

5 5 7 8 8 5 8 4 4 2 8 2 4 7 8 5 4 5 8 8 7 1 8 8 4 7 8 4 5 7 1 7

Вивід 15

НОВА ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ

Технологія обробки інформації та вирішення завдань за допомогою ЕОМ, що спирається на досягнення штучного інтелекту . Основною ідеєю, яка використовується в НІТ, є автоматизація процедури побудови програми, що цікавить користувача, на підставі введеного ним у систему опису постановки задачі на звичному для нього професійною мовою. Таким чином, Н.І.Т. забезпечує можливість спілкування з ЕОМ користувача, який не є професійним програмістом. Для того щоб була реалізована основна ідея Н.І.Т., необхідно, щоб ЕОМ мала інтелектуальним інтерфейсом , базою знань і вирішувачів , тобто була б інтелектуальною системою. Інший рисою Н.І.Т. є розподілений спосіб вирішення завдання, коли користувачі, зайняті вирішенням спільної справи, спілкуються між собою через мережу ЕОМ, електронну пошту та загальну базу знань. До мережі входять також бази даних , з яких користувачі черпають інформацію для вирішення свого завдання.

Всі етапи визначаються поставленим завданням і цілями моделювання. У загальному випадку процес побудови і дослідження моделі можна представити наступною схемою: Перший етап - постановка задачі включає в себе стадії:
опис завдання,
визначення мети моделювання,
аналіз об'єкта.Опис задачі
Задача формулюється на звичайній мові. За характером постановки всі завдання можна розділити на дві основні групи. До першої групи можна віднести завдання, в яких потрібно дослідити, як зміняться характеристики об'єкта при деякому впливі на нього, «що буде якщо?... ». Наприклад, що буде, якщо магнітний диск покласти поруч з магнітом? У завданнях, що відносяться до другої групи, потрібно визначити, яке треба зробити вплив на об'єкт, щоб його параметри задовольняли деякому заданому умові, «як зробити, щоб?.. ». Наприклад, як треба побудувати освітній процес в сучасній школі, щоб дітям було цікаво вчитися? Визначення мети моделювання

На цій стадії необхідно серед багатьох характеристик (параметрів) об'єкта виділити істотні. Ми вже говорили про те, що для одного і того ж об'єкта при різних цілях моделювання істотними будуть вважатися різні властивості.

Наприклад, якщо ви будуєте модель яхти для участі в змаганнях моделей суден, то в першу чергу вас будуть цікавити її судноплавні характеристики. Ви будете вирішувати завдання «як зробити, щоб ...?»

Визначення мети моделювання дозволяє чітко встановити, які дані є вихідними, що потрібно отримати на виході і якими властивостями об'єкта можна знехтувати. Таким чином, будується словесна модель задачі.Аналіз об'єкта передбачає чітке виділення об'єкта, що моделюється і його основних свойств.Второй етап - формалізація завдання пов'язаний зі створенням формалізованої моделі, Тобто моделі, збережені на будь-яких формальній мові. Наприклад, дані перепису населення, представлені у вигляді таблиці або діаграми - це формалізована модель.

У загальному сенсі формалізація - це приведення істотних властивостей і ознак об'єкта моделювання до обраної формі.

Третій етап - розробка комп'ютерної моделі починається з вибору інструменту моделювання, іншими словами, програмного середовища, в якій буде створюватися і досліджуватися модель.
Від цього вибору залежить алгоритм побудови комп'ютерної моделі, а також форма його подання. У середовищі програмування це програма, Написана на відповідній мові. У прикладних середовищах (електронні таблиці, СУБД, графічних редакторах і т. Д.) Це послідовність технологічних прийомів, Що призводять до вирішення завдання.
Слід зазначити, що одну і ту ж задачу можна вирішити, використовуючи різні середовища. Вибір інструмента моделювання залежить, в першу чергу, від реальних можливостей, як технічних, так і матеріальних.
Четвертий етап - комп'ютерний експеримент включає дві стадії: тестування моделі та проведення дослідження.
тестування моделі

Тестування моделі - процес перевірки правильності побудови моделі.

На цій стадії перевіряється розроблений алгоритм побудови моделі і адекватність отриманої моделі об'єкту і мети моделювання. Тестування повинне бути цілеспрямованим і систематизованим, а ускладнення тестових даних має відбуватися поступово. Щоб переконатися, що побудована модель правильно відображає істотні для мети моделювання властивості оригіналу, тобто є адекватною, необхідно підбирати тестові дані, які відображають р е а л ь н у ю ситуацію.
дослідження моделі
До цієї стадії комп'ютерного експерименту можна переходити тільки після того, як тестування моделі пройшло успішно, і ви впевнені, що створена саме та модель, яку необхідно досліджувати.
П'ятий етап - аналіз результатів є ключовим для процесу моделювання. Саме за підсумками цього етапу приймається рішення: продовжувати дослідження або закінчити.
Якщо результати не відповідають цілям поставленого завдання, значить, на попередніх етапах були допущені помилки. В цьому випадку необхідно коригувати модель, Тобто повертатися до одного з попередніх етапів. процес повторюється до тих пір, поки результати комп'ютерного експерименту не відповідатимуть цілям моделювання.

Моделювання обєктів, що утворюють множину Каталана

Числа Каталана

Математика для програмістів

Розглянемо послідовність чисел: 1 , 1, 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 34305966540, 3430596, 3630, 3430596, 3630, 3430596, 3630, 3430596, 3430596, 3430596, 3430596, 3630, 3430596, 3630, 3430596, 3630, 3430596, 3630, 3430596, 3630594, 34305963640, 3430596364 4861946401452, ...

Це послідовність чисел Каталана, які дивним чином спливають в самих різних комбінаторних задачах. На жаль, вони випадають з розгляду типовий шкільної програми, але впевнений, що будь-який фахівець комп'ютерних наук повинен бути знайомий з ними.

Саме число Каталана виражається формулою C(n) = (2n)! / n!(n+1)!, де знак оклику, як зазвичай, позначає факторіал. Початок послідовності виглядає так: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796 ...
Англійська Вікіпедія стверджує, що відомо, як мінімум 66 різних конструкцій, які призводять до появи чисел Каталана. Ось деякі з них:

Правильні дужкові послідовності - набори відкриваються і закриваються дужок, в яких кожній відкривається скобці відповідає закривається. Число можливих послідовностей з фіксованим числом пар дужок виражається числом Каталана. Наприклад, 14 правильних послідовностей з чотирьох пар дужок:
(((()))), ((() ())), ((()) ()), ((())) (), (() ( ())), (() () ()), (() ()) (),
(()) (()), (()) () (), () ((())), () (() ()), () (()) (), () () (()), () () () ()
Двійкові дерева - дерева, з кожного вузла яких (крім листя) виходить рівно дві гілки. Кількість бінарних дерев із заданим числом листя - число Каталана. На малюнку представлені п'ять дерев з 4 листям в кожному.

Такі дерева вже обговорювалися на Хабре
Будь-які дерева. Число неізоморфних дерев із заданим числом вершин також дорівнює числу Каталана. Такі дерева теж обговорювалися
Монотонні шляху в квадраті - маршрути з лівого нижнього кута квадрата в правий верхній, які йдуть по лініях сітки вгору або вправо і не заходять вище діагоналі. На малюнку всі такі шляхи для квадрата 3x3.
Тріангуляції багатокутника. Кількість різних тріангуляцій опуклого багатокутника діагоналями дорівнює числу Каталана.
Розбиття вершин багатокутника на пари. Парне число точок на окружності можна об'єднати в пари непересічними хордами. Число способів таких об'єднань також дорівнює числу Каталана.
Таблиця Юнга - прямокутник, заповнений послідовними числами так, щоб вони зростали у всіх рядках і шпальтах. Число таблиць Юнга розміром 2xn також виражається числом Каталана.

Для кожної з цих конструкцій можна або по індукції, або реккурентное співвідношеннями довести, що число відповідних об'єктів виражається числом Каталана. Не буду зупинятися на цих доказах - їх можна знайти в підручниках з дискретної математики. Також є деякі чудові співвідношення, які можна отримати, використовуючи деякі зі згаданих побудов. Але це вимагає написання громіздких формул, чого хотілося б уникнути. Зараз цікавіше інше - невже збіг всіх цих кількостей для абсолютно різних речей випадковість?
Звичайно ж ні. Зв'язок цих конструкцій набагато глибше. Можна побудувати взаимнооднозначное відповідність між цими об'єктами і деякі з таких відповідностей я спробую продемонструвати. Крім простої цікавості це має і деяку практичну цінність. Наприклад, завдання про генерацію всіх бінарних дерев (рішення якої в лоб неочевидно) можна звести до набагато більш простого завдання про генерацію дужкових послідовностей.

відповідність 1

Дуже легко побудувати відповідність між Дужковий послідовностями і монотонними шляхами в квадраті. Читаючи дужкову послідовність зліва направо, будемо будувати шлях, почавши з лівого нижнього кута, - для кожної дужки що намалюємо горизонтальний відрізок, для закривається дужки - вертикальний.
Так як в послідовності було рівне число відкриваються і закриваються дужок, то шлях в підсумку закінчиться в правому верхньому куті, а той факт, що кожна дужка варто наперед відповідної їй закривається дужки (адже послідовність - правильна) гарантує нам, що шлях не перейде в верхню половину квадрата. Очевидно, що це побудова оборотно і з кожного монотонного шляху можна отримати дужкову послідовність.
На наведеному малюнку відповідні дужки і відрізки відзначені одним кольором. Добре помітно, що відрізки, відповідні одній парі дужок «бачать один одного»:

відповідність 2

В якості другої задачі побудуємо відповідність між правильними Дужковий послідовностями і таблицями юнгам 2xn. Тут теж все просто. Пронумеруємо дужки зліва направо. Якщо дужка відкривається, то відповідне їй число пишемо в верхній рядок. Якщо закривається, то в - нижню. Так як i перша дужка завжди стоїть лівіше i-ой закривається, то число відповідне відкривається скобці буде менше числа, відповідного закриває. А значить, верхнє число в таблиці виявиться менше нижнього в тій же колонці, тобто з правильної скобочной послідовності ми отримали таблицю Юнга. Це побудова також можна зупинити, а значить отримано взаємно-однозначна відповідність.

відповідність 3

Тепер займемося бінарними деревами. Дуже легко побачити відповідність між бінарними деревами і розстановками дужок у виразі з однорідними операціями, але це дає дещо інші послідовності. Для прив'язки бінарних дерев до правильних Дужковий послідовностям треба скористатися дещо іншим підходом. Скористаємося стандартним обходом дерева і пронумеруємо вершини (корінь приймемо за 0) в порядку обходу. Тепер, якщо при переході до числа I ми спустилися від батьків до дитини, то на i-е місце ставимо відкривається дужку. В іншому випадку ставимо закривається.

Дерево - бінарне, тому у кожного вузла є сусід. А значить, спустившись до дитини і поставивши відкривається дужку, ми рано чи пізно доберемося до його сусіда і поставимо закривається дужку. Це гарантує правильність отриманої послідовності. Побудова легко звернути і взявши за основу дужкову послідовність отримати бінарне дерево.
Зауважимо, що якщо в скобочной послідовності n пар то відповідне дерево має n + 1 лист.

відповідність 4

Для побудови відповідності між тріангуляції багатокутника найпростіше використовувати бінарне дерево. На цей раз ми Занумеруем в ньому все листя зліва направо (інші вузли пометим буквами). Для тріангуляції візьмемо багатокутник, в якому вершин на одну більше, ніж листя в дереві. Одну зі сторін цього багатокутника відзначимо, як стартову, а решта Занумеруем (для наочності - проти годинникової стрілки).
Далі виконуємо наступну процедуру - якщо дві вершини дерева сусідні, то відповідні сторони багатокутника «стягнемо» діагоналлю, яку позначимо тією буквою, якої позначений батько цієї пари вузлів в дереві. Далі продовжуємо процедуру «стягування» поки від багатокутника не залишиться єдиний стартовий відрізок.

Як можна помітити три сторони кожного трикутника в отриманому розбитті відповідають одному батьківському вузлу і двом його нащадкам. Тому, якщо взяти два різних дерева, то вийде два різних розбиття.

замість епілогу

Ну і на закінчення приведу табличку, в якому зображено відповідність об'єктів для третього числа Каталана.

Теги:

10 клас. Інформатика. Дистанційне навчання.

субота, 30 листопада 2019 р.